电路原理

电路,顾名思义就是指由基本元件组成的电流通路,它主要有两个功能:一个是处理能量,包括能量的产生、传输、分配和使用等;另一个是处理电信号,包括信号的获取、放大、滤波等。

电路的基本变量电压、电流、电荷、磁链,四个基本变量之间又两两构成四个二端基本元件——电阻(U-I)、电容(Q-U)、电感(Ψ-I)、忆阻器(Ψ-Q)。根据电路中的激励和响应是否呈线性关系,电路可分为线性电路和非线性电路;根据电路是否含有储能元件(电感和电容),电路分为电阻电路和动态电路(动态电路研究其暂态过程和稳态过程)。如果电流的参考方向是从电压的参考方向的正号流入,则说明电压和电流具有关联参考方向,否则说明电压和电流具有非关联参考方向。如果元件的U和I参考方向关联,则得到的P=UI为吸取功率;如果元件的U和I参考方向非关联,则得到的P=UI为发出功率;所以一般设电阻U I关联参考方向,电源的U I非关联参考方向。

电路的基本元件包括电阻、电容、电感、独立源、受控源、二极管、理想变压器等等。电阻R根据激励与响应的关系分为线性电阻和非线性电阻,元件约束R=UI;电容C以电场形式储存能量,具有储存电荷的能力,元件约束Q=CU;电感L以磁场形式储存能量,具有储存磁链的能力,元件约束Ψ=LI;独立源分为独立电压源(提供恒定电压,U-I曲线为平行于I轴的直线)和独立电流源(提供恒定电流,U-I曲线为平行于U轴的直线);受控源根据控制量和受控量的不同分为压控电压源、压控电流源、流控电压源、流控电流源;二极管只能通过正向电流而不能通过反向电流;变压器是利用线圈的互感原理,而理想变压器一种耦合系数为1,L1、L2、M都无穷大的变压器。

电路受到两类约束——元件约束和拓扑约束,元件约束与电路元件的自身性质有关,拓扑约束与电路元件无关,只与电路的结构有关。说到拓扑约束就不得不提到基尔霍夫定律,基尔霍夫定律是整个电路理论的基础,它主要包括两个部分——KCL和KVL,狭义KCL指对于电路的任一个节点而言,流入该节点的电流和一定等于流出该节点的电流和,广义KCL指对于任何一个子电路而言,流入的电流和也一定等于流出的电流和;狭义KVL指对于电路的任一个回路而言,其电压降的代数和为零,广义KVL指对于电路中的任一个节点到另一个任一节点,其电压降始终相等,与路径无关。对于一个电路,它有b个电路元件,n个节点,则一定会有b-n+1个独立回路,则一定会有b个元件约束方程,n-1个KCL方程,b-n+1个KVL方程,一共会出现2b个独立方程,这就是电路求解的著名的“2b”法。

电阻和电源是可以实现等效变换的,所谓的等效变换并非替换,而是指两者的UI特性一致,等效变换制后对整个电路的分析没有影响。电阻的等效变换:①电阻的串并联,电阻串联起到分压的作用,Req=R1+R2,电阻并联起到分流的作用,Req= R1xR2/(R1+R2)。②平衡电桥,当电阻呈现“H”连接,如果两个斜向电阻的乘积相等则流经中间电阻的电流为零。③Y-△变换,各个相上的电阻均相等,则连接成“Y”形的电阻和连接成“△”形的电阻可以相互转换,Y→△,各电阻乘以3,反之,各电阻除以3。④加流求压和加压求流,对于含有受控源和电阻的一端口网络,可以虚拟一个端口电压(或端口电流),然后用端口电压(或端口电流)表示出端口电流(或端口电压),比值则为等效电阻(或等效电导)。电源的等效变换:两个独立电压源串联为两者相加之和,独立电压源与任何元件并联都等于独立电压源本身,两个独立电压源除非电压相等,否则不能并联;两个独立电流源并联为两者相加之和,独立电流源与任何元件串联都等于独立电流源本身,两个独立电流源除非电流相等,否则不能串联。独立电压源的实际模型为电压源和其内阻串联,独立电流源的实际模型为电流源和其内阻的并联,独立电压源等效转换为独立电流源时,内阻由串联改为并联,大小不变,转换的独立电流源电流为独立电压源电压除以内阻阻值,电流方向不变,独立电流源等效转换为独立电压源时,则反之。

对一个网络而言,其中的两个接线端,电流大小相等,方向相反,则成为一个端口。一端口网络即具有一个端口的网络,比如上面可以等效变换的电阻和独立源等单个元件;二端口网络即具有两个端口的网络,运算放大器和MOSFET都属于二端口网络。二端口网络的参数有输入端输入电阻Ri,输出端输出电阻Ro,还有R参数(用I1、I2表示U1、U2,互易时R12=R21,对称时R12=R21且R11=R22)、G参数(用U1、U2表示I1、I2,互易时G12=G21,对称时G12=G21且G11=G22)、T参数(用U2、-I2表示U1、I1,互易时T11T22- T12T21,对称时T11T22- T12T21且T11=T22)。互易二端口指将二端口网络的激励和响应交换位置后,响应不变。对称二端口指从二端口网络的任何一侧看入,激励在本侧和对侧引起的相应都是一样的。二端口的连接方式有级联(T=T1T2)、并联(G=G1+G2)、串联(R=R1+R2)。

运算放大器是一个集成电路,首先它的作用是放大信号,利用其信号放大的特性又可;以构成信号运算的功能,因此称之为“运算放大器”。运算放大器有三个工作区:负向饱和区:Uo=—Usat,线性区:Uo=Aud,正向饱和区:Uo=Usat,其中A是运算放大器的(开环)放大倍数。运放的输入电阻为Ri,输出电阻为Ro,理想的运放满足Ri→∞,为MΩ量级,Ro→0,为10Ω量级,A为∞,理想的运放满足输入端的“虚短”和“虚断”,但鉴于放大倍数非常大,而输出电压Uo又是一个有限值,所以要求输入电压ud非常小,这是非常不经济的,因此引入负反馈。反相输入端供电Us,反相输入端电阻为R1(为KΩ量级),负反馈电阻为Rf(为KΩ量级),可以实现Uo=-Rf/R1Xus,这就是反相比例放大器。此外,运用运放还可以构成正向比例放大器、加法器、减法器、微分器、积分器。

MOSFET,即金属氧化物半导体场效应晶体管。MOSFET有三个极:G极为栅极、D极为源极、S极为漏极,A为(开环)放大倍数。MOSEF有三个工作区:①截止区:UGS UDS,DS为为电阻Ron。用MOSFET可以构成逻辑门电路——是门(缓冲器)和非门(反相器)、与非门和与门、或非门和或门。

分析电路的一般方法有两种——节点电压法和回路电流法。对于一个有b个元件、n个节点、b-n+1个独立回路而言,节点电压法的核心是以节点电压为变量表示支路电流,进而列写出n-1个KCL独立方程,形式为(1/R1+1/R2)U1-1/R2U2=Is1+Is2。等式左边(1/R1+1/R2)表示自电导;1/R2表示互电导,即公共电导,取负号;等式右边Is1+Is2表示流入该节点的电流源的和。回路电流法的核心是对每一个独立回路设置一个虚拟的回路电流,以回路电流为变量,表示出支路电压进而列写出b-n+1个KVL独立方程,形式为R1I11+ R2(I11-I12)= Us1+Us2。等式左边R1表示自电阻,R2表示互电阻,即公共电阻,当I11和I12同向取正号,反向取负号,等式右边为沿回路电流方向的电源的电压升。

电路有三种比较常用的定理——叠加定理、戴维南定理、替代定理。叠加定理适用于线性电路,各独立源共同作用时在任一支路的电流(或两点间的电压)等于各独立源分别作用于该支路的电流(或两点间的电压)的代数和,由叠加定理推导出的齐性定理,即对于线性电路,电路中所有的独立源变化K倍,各支路的电流(或两点间的电压)也变化K倍。戴维南定理对于任何线性电阻、线性受控源、独立电源组成的一端口网络都可以等效为一个理想电压源U0和电阻Req的串联电路,其中U0为一端口网络的开路电压,电阻Req为独立源置零(独立电压源开路,独立电流源短路)时的等效电阻。替代定理适用于线性电路和非线性电路,即对于一个两端电压为U,电流为I的支路而言,可以用一个电压为U的独立电压源替代,也可以用一个电流为I的独立电流源替代。

对于非线性电阻电路而言,大家一般研究有唯一解的电路,即电阻是单向递增的。非线性电阻有两部分组成,一部分为静态电阻,这一段Rs= U0/I0,(U0I0)即为工作点,另一部分为动态电阻,这一段Rd=△U/△I|(U0I0)。对于非线性电路一般使用的方法有解析法(通过大量的数学计算)、图解法(当电路中只有一非线性电阻时,将非线性电阻以外的电路进行戴维南等效,画出其UI曲线,再画出非线性电阻的UI曲线,两线的交点即为工作点)、分段线性解法(把非线性电阻的非线性UI曲线分成不同的线性阶段,通过分阶段假设和验证,求出工作点)。对于非线性电路而言还有一种比较特殊的电路,即电路激励中含有小信号,分析的方法是小信号分析法,就是把激励分为大信号(即直流稳定信号)和小信号,分别求出大信号和小信号单独作用下的电路响应,然后得到响应和。求解步骤如下:忽略小信号,用解析法、图解法、分段线性法求解出工作点,然后忽略大信号,求小信号激励下的电路响应,元件的小信号模型为:非线性电阻为工作点下的动态电阻,非线性受控源为原来的非线性控制函数在工作点处线性化的值。对MOSFET施加小信号激励可以实现放大器的作用。

无论是线性电阻电路或者是非线性电阻电路都是电阻电路,电路中还有一个重要的家族就是动态电路。动态电路即还有储能元件的电路,主要指电容和电感。电路发生变化,即换路时,电阻的电压和电流发生突变;电容具有储能的作用,电压不发生突变;电感具有储能的作用,电流不发生突变。根据电容和电感的这一特性,总结出了换路定律,即Uc(0-)=Uc(0+), il(0-)=il(0+),这里有一个大前提即电容的电流和电感的电压为有限值。同时,电容的UI关系如下:I=Cdu/dt;电感的UI关系如下:U=LdI/dt。对于动态电路而言,根据换路定律和电容电感的UI关系,大家就可以列写出非齐次一阶常系数常微分方程,方程的解为特解+通解。动态电路的响应由两部分组成——强制响应和自由响应,强制响应就是外加激励在电路中产生的响应,对应着一阶常系数常微分方程中的特解,也是电路达到稳态时的稳态响应;自由响应对应着一阶常系数常微分方程中的通解。对一阶常系数常微分方程的分析发现,电容的形式为Uc=US+(U0-US)e-t/τ,ic=Cduc/dt,U0初始电压,US稳态电压,τ为RC;电感的形式为iL=iS+(i0-iS)e-R/τ,UL=LdiL/dt,i0初始电压,iS稳态电压,τ为L/R。以此可见,对于电容只需要知道初始电压U0,稳态电压US,τ(RC);对于电感只需要知道初始电压i0,稳态电压iS,τ(L/R);因此又叫三要素法。电路的响应又可以分为零状态响应和零输入响应,零输入响应即没有外加激励,仅由动态元件的初始储能引起的响应,零状态响应即动态元件的初始储能为零,外加激励下引起的响应。对于零状态响应有两种比较特殊的外加激励——单位阶跃函数ε(t)和单位冲激函数δ(t),其对应的零状态响应分别为s(t)、h(t),其中δ(t)=dε(t)/t,f(x)δ(t)=f(0)。因为有单位冲激函数的存在,电容的电流和电感的电压不为有限值,换路定律的前提不存在,故电容的电压和电感的电流在换路时发生了跳变。对于一个函数f(x)激励的电路而言,其对应的零状态响应为r(t)=∫f(τ)h(t-τ)dτ。利用一阶电路(含有一种储能元件的电路)的应用有①传输延迟:利用两个MOSFET构成的逻辑门,因为有寄生电容的存在,形成的缓冲器具有传输延迟效果。②在负反馈的运放,在反相输入端加入电容,形成积分器;在反馈线路上加入电容,形成微分器。此外还有滞回比较器、脉冲发生器、整流器、降压斩波器。

含有两种储能元件的电路,求解时就需要列写出二阶常系数常微分方程,其特解为强制分量,通解为自由分量,求通解时,若电路特征方程的特征根为两个不等实根P1、P2,则电路处于过阻尼的状态,电路为无震荡衰减,其通解为A1ep1t+A2ep2t;若电路特征方程的特征根为两个相等的实根P,则电路为临界阻尼,电路为无震荡衰减,其通解为(A1+ A2t)ept;若电路特征方程的特征根为两个共轭复根P1、P2,则电路为欠阻尼,电路为震荡衰减,α=R/2L,ωd=√ ̄[1/(LR)-α2]。其通解为ke-αtsin(ωdt+Ψ)。利用二阶电路的应用有汽车点火器、脉冲电源、升压斩波器(利用占空比的不同)。

以上研究的电阻电路和动态电路都是基于外加激励为直流的情况下,接下来大家看一下当外加激励为交流的情况下的电路分析。在交流电源中,正弦交流电源是最为常见的一种,正弦函数Asin(ωt+Ψ),A为幅值;ω为角速度,表征频率;Ψ为相位。正弦量相加减、积分和求导的过程中,其始终都是一个频率相等的正弦量,故引入相量来表示正弦量,对于正弦量Asin(ωt+Ψ),可以用相量B∠Ψ,其中B为正弦量的有效值,也就是模,Ψ代表初相位。相量有两种表示方法:①直角坐标表示形式:a+jb;②极坐标表示形式:c∠Ψ,两种形式的相互转换关系为:a=CcosΨ,b=CsinΨ;c2=a2+b2,Ψ=arctan(b/a)。一旦用相量表示正弦量后,就可以重新观察元件特性的相量形式。对于电感而言,相量U=jωL乘以相量I;对于电容而言,相量I=1/(jωC)乘以相量U,j表示旋转因子,一个j表示逆时针旋转90度。把相量的逻辑代入到基尔霍夫定律中就可以得到阻碍电流的复阻抗(电阻+电抗,电抗包括容抗和感抗),导通电流的复导纳(电导+电纳,电纳包括容纳和感纳)。电路的电压为Usin(ωt),电流为Isin(ωt-Ψ),其中Ψ为电流落后电压的相位,有功功率为P=UIcosΨ,cosΨ被称为功率因数,有功功率其实也就是电路消耗在电阻上的功率;无功功率为Q=UIsinΨ,无功功率是指电感或电容等储能元件与外电路发生的功率交换,电感是始终吸取功率的,而电容是始终发出功率的,故具有“互补”的作用,这种性质常被用来调整功率因数,被称为无功补偿。视在功率是S=√ ̄(P2+Q2),与有功功率和无功功率始终守恒不同,视在功率一般是不守恒的。

动态电路的电压和电流会随着激励的频率改变而变化,这叫做动态电路的频率特性,主要包括幅频特性和相频特性。将正弦电压源Us、电阻R、电容C串联,以相量Us为输入电压,以电阻R上的电压为输出电压,则Uo=jωCR/(1+ jωCR)Us,当ω→∞时,输出电压等于输入电压,当ω→0时,输出电压为零,这就是电容的隔直通交,这也就是高通滤波器,与微分器的原理一致;如果以电容C上的电压为输出电压,则Uo=1/(1+ jωCR)Us,当ω→∞时,输出电压等于零,当ω→0时,输出电压等于输入电压,这就是低通滤波器,与积分器的原理一致。将正弦电压源Us、电阻R、电容C、电感L串联,以相量Us为输入电压,以电阻R上的电压为输出电压,可以实现带通滤波器,与高通、低通滤波器不同,带通滤波器具有两个截止频率,两个截止频率的差值就是带宽。利用频率特性制成的全通滤波器,则是相频特性,只移动相位。

电路中会出现谐振的情况,所谓谐振就是指端口的电压和电流同相位,此时端口的入端电阻等效阻抗为纯阻性。RLC串联时,发生谐振,电抗为零,即jωL+1/(jωC)=0,则ω0=√ ̄(1/LC),此时电感上的电压和电容上的电压大小相等,相位差180度,方向相反,同时电感电压和电容电压发生放大,所以串联谐振又被称为电压谐振,其电抗频率(Xω)曲线为过(ω00)的单向递增曲线;RLC并联时,发生谐振,电纳为零,即1/(jωL)+jωC=0,则ω0=√ ̄(1/LC),此时电感上的电流和电容上的电流大小相等,相位差180度,方向相反,同时电感电流和电容电流发生放大,所以并联谐振又被称为电流谐振,其电抗频率(Xω)曲线是关于x=ω0的双曲线,当ω<ω0,X>0,电路呈感性,当ω>ω0,X<0,电路呈容性。RLC串联时,电感或电容的电压与电阻电压的比值就是品质因数,品质因数表征了信号放大的能力,品质因数越高,信号放大能量越强;品质因数还表征了能量效率,因为品质因数也可以看作是谐振时电路储存的总能量除以周期内电路消耗的能量,品质因数越高,储存能量越强;品质因数也表征了电路的选择性,品质因数越高,幅频特性越尖锐,选择性越高。当电路呈感性时,需要加入电容来补偿,当电路呈容性时,需要加入电感来补偿。

两个邻近的电感线圈,通过其中一个线圈的电流所产生的磁链不仅与自身交链,还和邻近的线圈交链,这就是互感。相互之间有一个互感系数M,耦合系数K=M/√ ̄(L1L2)。为了更好地判断线圈电压,设置了同名端,对于两个线圈而言,有这样的一对端钮,当电流分别从这两个端钮中流入各自线圈时,它们产生的自感磁通、互感磁通都是相互加强的,则称这一对端钮为同名端。大家可以通过串联、并联和具有一个公共端的两线圈实现等效去耦。变压器正是利用了互感的原理,有三种变压器,分别是空心变压器、全耦合变压器和理想变压器,空心变压器是指以不导磁的材料作为芯柱的变压器,原边和副边具有绕线电阻R。全耦合变压器是指在空心变压器的基础上,忽略原边和副边的绕线电阻R,耦合系数K=1,也就是M=√ ̄(L1L2),可以得到U1/ U2=n,n=√ ̄(L1/L2),I1= U1/(jωL1)-1/n I2,n被称为之全耦合变压器的变比,等于原副线圈的匝数比。理想变压器是在全耦合变压器的基础上,L1、L2、M均为无穷大,则得到:U1/ U2=n,I1= -1/n I2。只需要知道n即可。利用变压器的应用有中间抽头变压器构成的全波整流器,中间抽头变压器实现的电话线路的二-四线转换。

同电阻的“Y-△”变换一样,三相电源也有Y-△的区分,Y三相电源为三相四线(中间为中性线),△三相电源为三相三线,不过其中每个相电压大小相等,相位相互落后120度。Y电源连接,线电压=√ ̄3相电压,线电流=相电流;△电源连接,线电压=相电压,线电流=√ ̄3相电流,分析三相电路时,把电源转换为Y三相电源,把负载转化为Y三相负载,求解单一相等效电路,根据对称性求出其他两相。

最后对于周期性的非正弦激励下的电路,可以利用傅里叶级数进行分析,但是使用的基本方法是与上面一致的。

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